Guten Abend zusammen,

folgend eine kurze Zusammenfassung der genannten Eckdaten:
R4 (585mm) 250 km/h mit BR 01.10 (012/3710)
R2/R1 80 km/h GFN/P10 (Katalognummer?)
R1 V200/3021 mit ca. 200 km/h (Kurt)
R2 V200/3021 mit ca. 280 km/h (Ermel)

mit freundlichen Grüßen,
Stephan-Alexander Heyn

Hallo Stephan-Alexander,

hier noch der Nachtrag: die Artikelnummer der GFN BR 39 (AC) lautet 393671.

@SET800: stimmt, Du hast natürlich Recht.

Die Lokmasse kürzt sich beim (Un-)Gleichsetzen der Formeln für die Gewichtskraft

Fg = m * g * h (1)

und der Zentripetal- (Zentrifugalkraft mit anderem Vorzeichen)

Fz = m * v^2 * r^-1 (2), einfacher: Fz = (m * v^2) / r (2a)

aus der Ungleichung

Fg =< Fz (3)

wieder heraus. Die Ungleichung deshalb, weil die Geschwindigkeit interessant ist, ab welchem die Zentrifugalkraft über die Schwerkraft siegt und die Lok aus dem Gleis kippt.

Dabei sind:
m = Lokmasse (in kg)
g = Erdbeschleunigung (9,81 m*s^-2)
h = Höhe (des Schwerpunkts der Lok über Schienenoberkante, ggf. nach Berücksichtigung des Spurkranzes, der ein Aus-der-Kurve-Kippen noch ein wenig bremsen sollte)
v = Geschwindigkeit der Lok (in Metern/Sekunde m/s)
r = Kurvenradius (in m, bei R1 0,36 m, bei R2 0,42m)

Gleichung (3) lässt sich demnach, nach Dividieren durch die Masse m auf beiden Seiten (ja, sie fällt nicht ins "Gewicht" ), und anschließendem Dividieren durch h weiter entwickeln zu:

g =< v^2 * r^-1 * h^-1 (4), einfacher g =< v^2 / (r * h) (4a)

(4) lässt sich, bei bekanntem Radius und Schwerpunkthöhe zu einer Formel umstellen, in der nur noch die Geschwindigkeit (hier quadratisch) eingeht:

v^2 >= g * r * h (5),

so dass

v >= SQRT(g * r * h) (6) beim Wurzelziehen das Ergebnis liefert.

Daher, angenommen die Höhe des Schwerpunktes der Lok (willkürlich) beträgt 4 cm über Schienenoberkante (0,04 m), und der Radius 36 cm (R1), so ergibt sich eine Grenzschwindigkeit v, ab der die Lok ins Kippen kommen sollte (Reibung ist unberücksichtigt geblieben):

v >= SQRT (9,81 m/s^2 * 0,36 m * 0,04 m) (7)

daher:

v >= 0,376 m/s

In km/h also 1,3536 km/h, umgerechnet in 1:87 ergäben sich 117,7632 km/h...

Das halte ich für viel zu gering. Entweder spielt die Reibung doch eine erheblich größere Rolle bei dem Versuch der Lok im Gleis zu bleiben, oder meine o.g. Formeln sind falsch.
Nach (1), (5) und (6) ginge nach meinen oben genannten Überlegegungen die Höhe des Schwerpunktes linear in die Gleichung ein (bis auf das Wurzelziehen am Ende). Demnach müsste bei einer Maschine mit höherem Schwerpunkt also die Grenzgeschwindigkeit, ab der sie aus der Kurve kippt höher sein, als bei einer niedrigeren Bauart.

Das kann so definitiv nicht stimmen Meine o.g. Formeln sind also falsch, zumindest die für die Schwerpunktberechnung (da darf man wohl nicht die für die Gewichtskraft aus der Berechnung der potenziellen Energie über dem Erdschwerkraftfeld hernehmen)!!!

Jetzt würde mich die Berichtigung meiner Überlegungen interessieren.

Weiß jemand von Euch, wo mein Denkfehler liegt?

Viele Grüße
Torsten

Guten Abend Torsten

danke für die Artikelnummer.

Zu Formel (1): F = m*g, h hat darin Nichts zu suchen.

Noch etwas empirisches: vmax(R1, V200) ca. 200 km/h und vmax(R4/V200) ca. 250 km/h stimmen bei Annahme des quadratischen Zusammenhangs
r~v^2 überein: R1=360, R4=585, R4/R1 = 1,625; sqr(R4/R1)=1,275. v(R4)=v(R1)*sqr(R4/R1)=255 km/h

mit freundlichen Grüßen,
Stephan-Alexander Heyn

Hallo Stephan-Alexander,

alles klar. Danke für den Hinweis.

Deinen empirischen Daten entnehme ich, dass ich bei doppeltem Kurvenradius also etwa mit der Wurzel-aus-Zwei-fachen (sqr(2) ~ 1,414...) Geschwindigkeit fahren darf?

Jetzt würde mich tatsächlich noch interessieren, wenn meine o.g. Formel (1) für die Gewichtskraft in der Berechnung nicht vorkommen darf, wie ich denn tatsächlich die Grenzgeschwindigkeit im Umkipppunkt (Idealfall ohne Berücksichtigung von Gleit- und Haftreibung) ermitteln kann.

Mein intuitiver Ansatz mit dem Kräfteparallelogramm aus Zentripetal-/-fugalkraft und der Gewichtskraft, wie es mir aus dem Physikunterricht hängen geblieben war, scheint ja nicht der richtige zu sein.
Hätte mir aber auch klar sein müssen, wenn ich richtig darüber nachdenke. ops: Der resultierende Kraftvektor hätte die Lok sonst schon bei geringeren Geschwindigkeiten als der Grenzgeschwindigkeit in die Schräglage bringen müssen. Dann hätte man bei jedem Kurvenradius - wie bei Kfz-Teststrecken - Steilkurven verbauen müssen, um die Zentrifugalkräfte aufzufangen.
Kurvenüberhöhung ist ja ganz hübsch, aber keine zwingende Voraussetzung für die Fahrphysik bei der Modellbahn...

Viele Grüße
Torsten

Moin moin,

ich komme zwar bei euren ganzen Formeln nichmehr mit,
aber meine Versuche habe ich dazu früher auch angestellt.

Lieblingsobjekt war meine 103 (3357).
Nach der Digitalisierung lief die gute 390 km/h,
mit dem Fleischmann Tachowagen gemessen.
Im 360er Radius fuhr sie dann auf 6 statt 12 Rädern, ist aber niemals aus der Kurve geflogen.
Die dazu notwendigen 400 Sachen hat sie doch nicht geschafft.
Mit 9 Intercity-Waggons (26,4/27 cm Serie mit KK) schaffte sie noch 350 km/h,
der ganze Zug fuhr recht sicher auch noch bei dem Tempo durch die 360er,
lediglich das letzte Drehgestell des letzten Waggons neigte sich bedenklich...

Die 3021 ist bei solchen Versuchen recht schnell abgeflogen, Geschwindigkeit unbekannt,
und auch nicht weiter verfogt.

Also meiner Meinung spielt die Größte Rolle der Schwerpunkt,
optimal bei Loks wie der 103 oder 151.

Die Hohen Geschwindigkeiten sind bei mir seid der Digitalisierung vorbei,
die einzigen Loks die noch über 200 laufen sind meine 3 103er.
Ich habe keinerlei Bedenken alle meine Loks mit Höchstgeschwindigkeit durch die engen unterirdischen Radien zu jagen,
umgekippt ist, außer der 3021 damals, keine mehr.

Im sichtbaren Bereich der Anlage ist inzwischen praktisch nur noch R 9 verbaut,
da darf ein IC ausnahmnsweise dann auch mal 200 fahren,
aber an sich habe ich die Vmax aufgrund der geringen Streckenlänge meiner aktuellen Anlage auf 160 beschränkt.
Die meisten Züge fahren aber erheblich langsamer.

Grüße
Birk

Guten Tag Torsten, guten Tag Birk,

vielen Dank für Eure Beiträge!
Die Antworten haben mich zu folgenden Überlegungen gebracht:
Ein Modell kippt nur dann, wenn die Resultierende aus Schwerkraft (aus m*g) und Querkraft (aus m*a) sich außerhalb der unterstützten Unterlage befindet. Daraus kann man ein Kräfteparallelogramm entwickeln in der Höhe des Schwerpunkts (vorrausgesetzt der Schwerpunkt befindet sich in der Breitenmitte, sonst wären die maximalen Geschwindigkeiten für Recht- und Linkskurven deutlich unterschiedlich):
Senkrecht m*g (m = Masse, g=9,81 m/s^2)
Waagerecht m*a (m= Masse, a = Zentrifugalbeschleunigung = v^2/r mit r = Schienenradius.)
Beide Kräfte bilden einen Hebelarm:
m*g*R (D=2R=16,5mm; Spurweite H0) bzw.
m*(v/2^r)*h (h = Schwerpunkthöhe).
Damit das Fahrzeug nicht kippt, muss gelten: mhv^2/r <= mgR oder hv^2/r <=gR.
Aufgelöst nach v: v= sqrt(gRr/h) Formel (1)
Versuchsrechnung: g=9,81; R=8,25mm; r=585mm, h=8,25mm (sehr niedrig liegender Schwerpunkt!)
v <= sqrt (9,81 m/s^2 * 0,00825m*0,585m/0,00825m) <= 2,4m/s (das sind umgerechnet aufs Vorbild: <=750 km/h )
Nun liegt der Schwerpunkt mit Sicherheit > 0,825cm, aber auch unter 4cm, weil die meisten Modelle nur 5-6cm Höhe haben. Nehmen wird mal 3cm.
Neue Rechnung mit h=30mm: v <= 1,256 m/s <= 394 km/h. Das ist noch zu hoch!
Man könnte noch einen Korrekturfaktor einführen: um welchen Faktor muss Formel (1) verkleinert werden, damit für die V200 bei R1 (360mm) 200 km/h herauskommt. 394 km/h ist fast doppelt so groß wie 200 km/h; r entspricht v^2, also 1/2^2=1/4=0,25.
Folglich kann man ansetzen:

v<= sqrt (0,25*g*R*r/h) Formel (2).

Jetzt braucht es "nur" noch Bestätigung durch Ausmessen der Schwerpunkthöhe der bereits genannten Modelle

mit freundlichen Grüßen,
Stephan-Alexander Heyn

Ich denke SET800 hat es treffend gesagt: entscheidend ist der Schwerpunkt!

Ein Schienenzeppelin rast mit ca. 280km/h durch den R2, der Schwerpunkt liegt sehr tief. Eine alte 141 mit Metallgehäuse und Blechrahmen hat dagegen einen recht hohen Schwerpunkt. Die fliegt schon deutlich früher.